viernes, 13 de noviembre de 2009

FORMULAS Y EJEMPLOS DE DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICO

Si la probabilidad de éxito en cada ensayo es p, entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para obtener un éxito es:
P(X=x)=(1-p)^(x-1)
Para x = 1, 2, 3,...∞. Equivalentemente, la probabilidad de que haya x fallos antes del primer éxito es
P(X=x)=(1-p)^x
Para x= 0, 1, 2, 3,...∞
En ambos casos, la secuencia de probabilidades es una secuencia geométrica.
Si K=1 entonces la Binominal negativa se convierte en distribución geométrica.
DEFINICIÒN
En una serie de ensayos independientes pueden resultar en un éxito con una probabilidad p constante y en un fracaso con una probabilidad de q=1-p, entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria x, denota el número de ensayos en el cual ocurre el primer éxito es:
g(x;p)=pqx-1
Para x=1, 2,3,…∞
g(x;p)= pqx
Para x=0, 1,2,…∞
Si x es una variable aleatoria geométrica con parámetro p, entonces la esperanza y varianza de x son:
E(X) = µ = (1-p)/p= q/p
Var(X) =σ2 = (1-p)/p^2 =q/p^2
EJEMPLO: En un cierto proceso de manufactura se sabe que, en promedio, 1 de cada 100 piezas está defectuosa ¿Cuál es la probabilidad de que la quinta pieza inspeccionada sea la primera defectuosa?
Solución: Utilizando la distribución geométrica con x=5 y p=0.01, se tiene:
g(x;p)=pq^(x-1)
g(5;0.01)=(0.01)(0.99)^4
=0.0096

EJEMPLOS ADICIONALES
EJEMPLO 3: El tablero de un conmutador telefónico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo de ocupado se refiere, de tal forma que las personas no pueden encontrar una línea desocupada para sus llamadas. Puede se de interés saber el número de intentos necesarios que se requieren para tener una línea disponible, Suponga que sea p=0.05 la probabilidad de tener línea durante la mayor congestión de llamadas. Se tiene el interés particular de saber la probabilidad de que sean necesarios 5 intentos para lograr una comunicación.
Solución: Utilizando la distribución geométrica con x=5 y p=0.05 se tiene:
P(X=x)=g(x;p)=pq^(x-1)
P(X=x)=g(5;0.05)=(0.05)(0.95)^4=0.041
EJEMPLO 4: Un avión de alto rendimiento contiene tres computadoras idénticas. Se utiliza únicamente una para operar el avión; las dos restantes son repuestos que pueden activarse en caso de que el sistema primario falle. Durante una hora de operación, la probabilidad de una falla en la computadora primaria (o de cualquiera de los sistemas de repuesto activados) es 0.0005. Suponiendo que cada hora representa un ensayo independiente, ¿Cuál es el tiempo promedio para qué fallen las tres computadoras?
Solución: Sea que x denote el número de horas hasta que los tres sistemas fallen, y sea que x1, x2 y x3 denoten el número de horas de operación antes de una falla de la primera, la segunda y la tercera computadoras usadas, respectivamente. Entonces, x1+x2+x3. Además, se supone que las horas comprenden ensayos independientes con probabilidad constante de falla p=0.0005. Por otra parte, una computadora de repuesto no es afectada por la cantidad de tiempo que transcurra antes de activarse. Por consiguiente, x tiene una distribución Binominal negativa con p=0.0005 y k=3. En consecuencia,
E(x)=3/0.0005=6000 horas
¿Cuál es la probabilidad de que las tres computadoras fallen en un vuelo de 5 horas? La probabilidad pedida es P (X≤5) y:
P (X≤5)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=
P(X=x)=g(x;p)=pq^(x-1)
=0.0005^3+ ((_2^3))0.0005^3 (0.9995)+((_2^4))0.0005^(3 ) (0.9995)^2
═1.25×〖10〗^(-10 )+3.75×〖10〗^(-10)+7.49×〖10〗^(-10)=1.249×〖10〗^(-10)

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