aporte de distribucion geometrica

Suponga usted que se revisará un determinado producto elaborado, que se le realizará un determinado control de calidad, y este control solo tiene dos opciones: bueno o malo, la probabilidad de que el producto este malo es p, y por lo tanto 1 - p será la probabilidad de encontrarlo bueno (en este caso, encontrar el primer producto malo es un "éxito"). Se considera que la revisión de los productos son independientes, es decir que un determinado producto esté bueno o malo no incide en los resultados de la revisión de los productos posteriores o anteriores. Se revisará tantos productos (uno a uno) hasta el momento que se encuentre una malo. De manera que si definimos la variable aleatoria X como "el número de productos revisados hasta encontrar uno malo", entonces esta variable aleatoria tomará valores en el conjunto
{1, 2, 3, ... }
En efecto, la opción X = 1, significa que el primer producto revisado fue malo (no se alcanzó a encontrar uno bueno), y esto ocurre con probabilidad p. Si X = 2, significa que el primer producto revisado fue bueno y el segundo fue malo, y esto ocurre con probabilidad (1 - p)p. En general, la probabilidad del suceso X = n, significa que el producto n -ésimo se encontró malo, y esto ocurre con probabilidad
Pr{X = n} = (1 - p)n-1 p
Observe que el factor (1 - p)n-1 es la probabilidad de que los primeros n - 1 productos estén buenos.

A manera de ejemplo más práctico imagínese que usted lanzará una moneda hasta que obtenga una cara (éxito). Que le salga cara a la primera, ocurrirá con una probabilidad de 1/2. Que le salga cara al segundo lanzamiento, significa que en el primer lanzamiento obtuvo un sello (que también ocurre con probabilidad 1/2, y se considera un fracaso), y en el segundo lanzamiento obtiene una cara, de manera que obtener por primera vez una cara en el segundo lanzamiento es que ha realizado antes un lanzamiento fallido, y así sucesivamente. De otra forma el suceso X = n, significa que hubo n - 1 lanzamientos fallidos y en el lanzamiento n se encontró "el éxito".

El crap
Demuestre que la probabilidad de ganar al "crap" es 244/495
Reglamento del crap: El jugador lanza dos dados. Si en el primer "envite" consigue un total de 7 o de 11 puntos ("un natural"), gana directamente; si su tanteo es de 2, 3 o 12 puntos ("craps") pierde directamente. En los demás casos (4, 5, 6, 8, 9, 10) la primera puntuación del lanzador es su "punto". Continúa lanzando, tratando de lograr el punto antes que salga un 7. Si lo consigue, gana todo el dinero; si fracasa, lo pierde todo.