Aporte de distribucion geometrica con ejercicios

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA.
Esta distribución es un caso especial de la Binomial, ya que se desea que ocurra un éxito por primera y única vez en el último ensayo que se realiza del experimento, para obtener la fórmula de esta distribución, haremos uso de un ejemplo.
Ejemplo: Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que la probabilidad de que aparezca águila es de 2/3, mientras que la probabilidad de que aparezca sello es de 1/3, Determine la probabilidad de que en el último lanzamiento aparezca una águila.
Solución: Si nosotros trazamos un diagrama de árbol que nos represente los 8 lanzamientos de la moneda, observaremos que la única rama de ese árbol que nos interesa es aquella en donde aparecen 7 sellos seguidos y por último una águila; como se muestra a continuación:
S S S S S S S A
Sí denotamos;
x = el número de repeticiones del experimento necesarias para que ocurra un éxito por primera y única vez = 8 lanzamientos
p = probabilidad de que aparezca una águila = p( éxito) = 2/3
q = probabilidad de que aparezca un sello = p(fracaso) = 1/3
Entonces la probabilidad buscada sería;
P(aparezca una águila en el último lanzamiento)=p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(A) =
=q*q*q*q*q*q*q*p = qx-1p
Luego, la fórmula a utilizar cuando se desee calcular probabilidades con esta distribución sería;
p(X)=qx-1p
Donde:
p(x) = probabilidad de que ocurra un éxito en el ensayo x por primera y única vez
p = probabilidad de éxito
q = probabilidad de fracaso
Resolviendo el problema de ejemplo;
x = 8 lanzamientos necesarios para que aparezca por primera vez una águila
p = 2/3 probabilidad de que aparezca una águila
q = 1/3 probabilidad de que aparezca un sello
p(x=8) = (1/3)8–1(2/3)= 0.0003048
Ejemplos:
1. Sí la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestre una desviación excesiva es de 0.05, ¿cuál es la probabilidad de que; a) el sexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el primero en mostrar una desviación excesiva?, b) el séptimo de estos dispositivos de medición sometidos a prueba, sea el primero que no muestre una desviación excesiva?.
Solución:
a) x = 6 que el sexto dispositivo de medición probado sea el primero que muestre una variación excesiva
p = 0.05 =probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesiva
q = 0.95 =probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variación excesiva
p(x = 6) = (0.95)6–1(0.05)= 0.03869
b) x = 7 que el séptimo dispositivo de medición probado, sea el primero que no muestre una desviación excesiva
p = 0.95 = probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variación excesiva
q = 0.05 = probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesiva
p(x = 7) = (0.05)7–1(0.95)= 0.0000000148