Ecuación 1

Como consecuencia de la Ecuación 1, la función de distribución acumulativa de
probabilidades, la función de densidad de probabilidades y la función de
probabilidad vienen dadas por las ecuaciones 2, 3 y 4, respectivamente.

En estadística, la distribución geométrica está relacionada con la distribución binomial y la distribución de Pascal. Esta distribución también está basada en ensayos de Bernoulli y se utiliza para medir el número de ensayos necesarios hasta obtener el primer éxito.

En la gráfica de la derecha se observa una distribución geométrica con probabilidad de éxito en cada ensayo p = 0.25.

DISTRIBUCIÓN GEOMETRICA

Esta distribución indica exactamente el número de repeticiones del experimento hasta lograr la característica de interés.
Se genera la simulación de variables aleatorias tipo Geométrica a partir del método de la transformada inversa.

En una serie de intentos independientes, con una probabilidad constante p de éxito, sea la variable X el número de ensayos realizados hasta la obtención del primer éxito. Se dice que X tiene una distribución geométrica con parámetro p cuando

X cantidad de intentos

                                                  

· DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
En el marco de repeticiones independientes de Pruebas de Bernoulli con parámetro
P se define otro tipo de experimento como el número de pruebas necesarias hasta
conseguir que ocurra el evento A por primera vez. Este experimento se denomina
experimento Geométrico y define una variable aleatoria
Geométrica.
El modelo Geométrico es una variable aleatoria que se define
como el número de repeticiones independientes de una Prueba de Bernoulli hasta
que ocurre el evento A.
Notas: − La variable aleatoria tomará cualquier valor entero mayor o
igual a uno.
− El modelo Geométrico se denotará como G(p), donde p es la
probabilidad de que ocurra el evento A en cada Prueba de
Bernoulli.
− La asignación de probabilidades de cada valor de la variable esta dada por la ecuación 1
Ecuación 1
Como consecuencia de la Ecuación 1, la función de distribución acumulativa de
probabilidades, la función de densidad de probabilidades y la función de
probabilidad vienen dadas por las ecuaciones 2, 3 y 4, respectivamente.
1
La Tabla 1 muestra los valores esperados más importantes correspondientes al
modelo Geométrico.
Tabla 1: Valores Esperados más Importantes para el Modelo Geométrico.
Para darse una idea se plantean los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1:La probabilidad de que ocurra el evento A en una Prueba de
Bernoulli es 0.6. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten exactamente 5 pruebas
para conseguir el resultado A por primera vez?.
La variable aleatoria así definida se corresponde con el modelo Geométrico con
parámetro p = 0.6. La probabilidad que se solicita viene dada por
Ejemplo 2:Considere una caja con R pelotas rojas y A pelotas amarillas. Se va a
realizar un muestreo con reposición hasta obtener una pelota amarilla. ¿Cuál es la
2probabilidad de que realicen exactamente 3 extracciones para conseguir la
primera pelota amarilla?.
La variable aleatoria así definida se corresponde con el modelo Geométrico con
parámetro p =A/A+R
. La probabilidad que se solicita viene dada por
Ejemplo 3:Un estudiante tiene probabilidad de 0.8 de aprobar el curso de
probabilidades. De no aprobar el curso en este término lo inscribe de nuevo hasta
que lo apruebe. ¿Cuál es la probabilidad de que necesite inscribirse más de tres
veces para aprobar el curso?.
La variable aleatoria definida como el número de veces que se toma el curso de
probabilidades hasta aprobarlo se corresponde con el modelo Geométrico con
parámetro p = 0.8 (se supone aquí que el valor de p permanece constante de un
término a otro). La probabilidad que se solicita viene dada por
Nota:
La Texas Instrument (TI−89), con su aplicación flash del programa de Probabilidad y Estadística, en el caso
de la distribución Geomertrica, se da por la opcion F5, seccion F.

FORMULAS Y EJEMPLOS DE DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICO

Si la probabilidad de éxito en cada ensayo es p, entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para obtener un éxito es:
P(X=x)=(1-p)^(x-1)
Para x = 1, 2, 3,...∞. Equivalentemente, la probabilidad de que haya x fallos antes del primer éxito es
P(X=x)=(1-p)^x
Para x= 0, 1, 2, 3,...∞
En ambos casos, la secuencia de probabilidades es una secuencia geométrica.
Si K=1 entonces la Binominal negativa se convierte en distribución geométrica.
DEFINICIÒN
En una serie de ensayos independientes pueden resultar en un éxito con una probabilidad p constante y en un fracaso con una probabilidad de q=1-p, entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria x, denota el número de ensayos en el cual ocurre el primer éxito es:
g(x;p)=pqx-1
Para x=1, 2,3,…∞
g(x;p)= pqx
Para x=0, 1,2,…∞
Si x es una variable aleatoria geométrica con parámetro p, entonces la esperanza y varianza de x son:
E(X) = µ = (1-p)/p= q/p
Var(X) =σ2 = (1-p)/p^2 =q/p^2
EJEMPLO: En un cierto proceso de manufactura se sabe que, en promedio, 1 de cada 100 piezas está defectuosa ¿Cuál es la probabilidad de que la quinta pieza inspeccionada sea la primera defectuosa?
Solución: Utilizando la distribución geométrica con x=5 y p=0.01, se tiene:
g(x;p)=pq^(x-1)
g(5;0.01)=(0.01)(0.99)^4
=0.0096

EJEMPLOS ADICIONALES
EJEMPLO 3: El tablero de un conmutador telefónico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo de ocupado se refiere, de tal forma que las personas no pueden encontrar una línea desocupada para sus llamadas. Puede se de interés saber el número de intentos necesarios que se requieren para tener una línea disponible, Suponga que sea p=0.05 la probabilidad de tener línea durante la mayor congestión de llamadas. Se tiene el interés particular de saber la probabilidad de que sean necesarios 5 intentos para lograr una comunicación.
Solución: Utilizando la distribución geométrica con x=5 y p=0.05 se tiene:
P(X=x)=g(x;p)=pq^(x-1)
P(X=x)=g(5;0.05)=(0.05)(0.95)^4=0.041
EJEMPLO 4: Un avión de alto rendimiento contiene tres computadoras idénticas. Se utiliza únicamente una para operar el avión; las dos restantes son repuestos que pueden activarse en caso de que el sistema primario falle. Durante una hora de operación, la probabilidad de una falla en la computadora primaria (o de cualquiera de los sistemas de repuesto activados) es 0.0005. Suponiendo que cada hora representa un ensayo independiente, ¿Cuál es el tiempo promedio para qué fallen las tres computadoras?
Solución: Sea que x denote el número de horas hasta que los tres sistemas fallen, y sea que x1, x2 y x3 denoten el número de horas de operación antes de una falla de la primera, la segunda y la tercera computadoras usadas, respectivamente. Entonces, x1+x2+x3. Además, se supone que las horas comprenden ensayos independientes con probabilidad constante de falla p=0.0005. Por otra parte, una computadora de repuesto no es afectada por la cantidad de tiempo que transcurra antes de activarse. Por consiguiente, x tiene una distribución Binominal negativa con p=0.0005 y k=3. En consecuencia,
E(x)=3/0.0005=6000 horas
¿Cuál es la probabilidad de que las tres computadoras fallen en un vuelo de 5 horas? La probabilidad pedida es P (X≤5) y:
P (X≤5)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=
P(X=x)=g(x;p)=pq^(x-1)
=0.0005^3+ ((_2^3))0.0005^3 (0.9995)+((_2^4))0.0005^(3 ) (0.9995)^2
═1.25×〖10〗^(-10 )+3.75×〖10〗^(-10)+7.49×〖10〗^(-10)=1.249×〖10〗^(-10)