En teoría de probabilidad y estadística, la distribución geométrica es cualquiera de las dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes:
* la distribución de probabilidad del número X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un éxito, contenido en el conjunto { 1, 2, 3,...} o
* la distribución de probabilidad del número Y = X − 1 de fallos antes del primer éxito, contenido en el conjunto { 0, 1, 2, 3,... }.
Cual de éstas es la que uno llama "la" distribución geométrica, es una cuestión de convención y conveniencia.
Propiedades [editar]
Si la probabilidad de éxito en cada ensayo es p, entonces la probabilidad de que n ensayos sean necesarios para obtener un éxito es
P(X = n) = (1 - p)^{n-1}p\,
para n = 1, 2, 3,.... Equivalentemente, la probabilidad de que haya n fallos antes del primer éxito es
P(Y=n) = (1 - p)^{n} p\,
para n = 0,1, 2, 3,....
En ambos casos, la secuencia de probabilidades es una progresión geométrica.
El valor esperado de una variable aleatoria X distribuida geométricamente es
\ E(X) = \frac{1}{p},
y dado que Y = X-1,
\ E(Y) = \frac{1-p}{p}.
En ambos casos, la varianza es
\mbox{var}(Y) = \mbox{var}(X) = \frac{1-p}{p^2}.
Las funciones generatrices de probabilidad de X y la de Y son, respectivamente,
G_X(s) = \frac{sp}{1-s(1-p)} \quad \textrm{y} \quad G_Y(s) = \frac{p}{1-s(1-p)}, \quad |s| < (1-p)^{-1}.
Como su análoga continua, la distribución exponencial, la distribución geométrica carede de memoria. Esto significa que si intentamos repetir el experimento hasta el primer éxito, entonces, dado que el primer éxito todavía no ha ocurrido, la distribución de probabilidad condicional del número de ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayan observado. El dado o la moneda que uno lanza no tiene "memoria" de estos fallos. La distribución geométrica es de hecho la única distribución discreta sin memoria.
De todas estas distribuciones de probabilidad contenidas en {1, 2, 3,... } con un valor esperado dado μ, la distribución geométrica X con parámetro p = 1/μ es la de mayor entropía.
La distribución geométrica del número y de fallos antes del primer éxito es infinitamente divisible, esto es, para cualquier entero positivo n, existen variables aleatorias independientes Y 1,..., Yn distribuidas idénticamente la suma de las cuales tiene la misma distribución que tiene Y. Estas no serán geométricamente distribuidas a menos que n = 1.
viernes, 13 de noviembre de 2009
martes, 10 de noviembre de 2009
Aporte de distribucion geometrica con ejercicios
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA.
Esta distribución es un caso especial de la Binomial, ya que se desea que ocurra un éxito por primera y única vez en el último ensayo que se realiza del experimento, para obtener la fórmula de esta distribución, haremos uso de un ejemplo.
Ejemplo: Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que la probabilidad de que aparezca águila es de 2/3, mientras que la probabilidad de que aparezca sello es de 1/3, Determine la probabilidad de que en el último lanzamiento aparezca una águila.
Solución: Si nosotros trazamos un diagrama de árbol que nos represente los 8 lanzamientos de la moneda, observaremos que la única rama de ese árbol que nos interesa es aquella en donde aparecen 7 sellos seguidos y por último una águila; como se muestra a continuación:
S S S S S S S A
Sí denotamos;
x = el número de repeticiones del experimento necesarias para que ocurra un éxito por primera y única vez = 8 lanzamientos
p = probabilidad de que aparezca una águila = p( éxito) = 2/3
q = probabilidad de que aparezca un sello = p(fracaso) = 1/3
Entonces la probabilidad buscada sería;
P(aparezca una águila en el último lanzamiento)=p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(A) =
=q*q*q*q*q*q*q*p = qx-1p
Luego, la fórmula a utilizar cuando se desee calcular probabilidades con esta distribución sería;
p(X)=qx-1p
Donde:
p(x) = probabilidad de que ocurra un éxito en el ensayo x por primera y única vez
p = probabilidad de éxito
q = probabilidad de fracaso
Resolviendo el problema de ejemplo;
x = 8 lanzamientos necesarios para que aparezca por primera vez una águila
p = 2/3 probabilidad de que aparezca una águila
q = 1/3 probabilidad de que aparezca un sello
p(x=8) = (1/3)8–1(2/3)= 0.0003048
Ejemplos:
1. Sí la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestre una desviación excesiva es de 0.05, ¿cuál es la probabilidad de que; a) el sexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el primero en mostrar una desviación excesiva?, b) el séptimo de estos dispositivos de medición sometidos a prueba, sea el primero que no muestre una desviación excesiva?.
Solución:
a) x = 6 que el sexto dispositivo de medición probado sea el primero que muestre una variación excesiva
p = 0.05 =probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesiva
q = 0.95 =probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variación excesiva
p(x = 6) = (0.95)6–1(0.05)= 0.03869
b) x = 7 que el séptimo dispositivo de medición probado, sea el primero que no muestre una desviación excesiva
p = 0.95 = probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variación excesiva
q = 0.05 = probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesiva
p(x = 7) = (0.05)7–1(0.95)= 0.0000000148
Esta distribución es un caso especial de la Binomial, ya que se desea que ocurra un éxito por primera y única vez en el último ensayo que se realiza del experimento, para obtener la fórmula de esta distribución, haremos uso de un ejemplo.
Ejemplo: Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que la probabilidad de que aparezca águila es de 2/3, mientras que la probabilidad de que aparezca sello es de 1/3, Determine la probabilidad de que en el último lanzamiento aparezca una águila.
Solución: Si nosotros trazamos un diagrama de árbol que nos represente los 8 lanzamientos de la moneda, observaremos que la única rama de ese árbol que nos interesa es aquella en donde aparecen 7 sellos seguidos y por último una águila; como se muestra a continuación:
S S S S S S S A
Sí denotamos;
x = el número de repeticiones del experimento necesarias para que ocurra un éxito por primera y única vez = 8 lanzamientos
p = probabilidad de que aparezca una águila = p( éxito) = 2/3
q = probabilidad de que aparezca un sello = p(fracaso) = 1/3
Entonces la probabilidad buscada sería;
P(aparezca una águila en el último lanzamiento)=p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(A) =
=q*q*q*q*q*q*q*p = qx-1p
Luego, la fórmula a utilizar cuando se desee calcular probabilidades con esta distribución sería;
p(X)=qx-1p
Donde:
p(x) = probabilidad de que ocurra un éxito en el ensayo x por primera y única vez
p = probabilidad de éxito
q = probabilidad de fracaso
Resolviendo el problema de ejemplo;
x = 8 lanzamientos necesarios para que aparezca por primera vez una águila
p = 2/3 probabilidad de que aparezca una águila
q = 1/3 probabilidad de que aparezca un sello
p(x=8) = (1/3)8–1(2/3)= 0.0003048
Ejemplos:
1. Sí la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestre una desviación excesiva es de 0.05, ¿cuál es la probabilidad de que; a) el sexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el primero en mostrar una desviación excesiva?, b) el séptimo de estos dispositivos de medición sometidos a prueba, sea el primero que no muestre una desviación excesiva?.
Solución:
a) x = 6 que el sexto dispositivo de medición probado sea el primero que muestre una variación excesiva
p = 0.05 =probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesiva
q = 0.95 =probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variación excesiva
p(x = 6) = (0.95)6–1(0.05)= 0.03869
b) x = 7 que el séptimo dispositivo de medición probado, sea el primero que no muestre una desviación excesiva
p = 0.95 = probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variación excesiva
q = 0.05 = probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesiva
p(x = 7) = (0.05)7–1(0.95)= 0.0000000148
lunes, 9 de noviembre de 2009
aporte de distribucion geometrica
Suponga usted que se revisará un determinado producto elaborado, que se le realizará un determinado control de calidad, y este control solo tiene dos opciones: bueno o malo, la probabilidad de que el producto este malo es p, y por lo tanto 1 - p será la probabilidad de encontrarlo bueno (en este caso, encontrar el primer producto malo es un "éxito"). Se considera que la revisión de los productos son independientes, es decir que un determinado producto esté bueno o malo no incide en los resultados de la revisión de los productos posteriores o anteriores. Se revisará tantos productos (uno a uno) hasta el momento que se encuentre una malo. De manera que si definimos la variable aleatoria X como "el número de productos revisados hasta encontrar uno malo", entonces esta variable aleatoria tomará valores en el conjunto
{1, 2, 3, ... }
En efecto, la opción X = 1, significa que el primer producto revisado fue malo (no se alcanzó a encontrar uno bueno), y esto ocurre con probabilidad p. Si X = 2, significa que el primer producto revisado fue bueno y el segundo fue malo, y esto ocurre con probabilidad (1 - p)p. En general, la probabilidad del suceso X = n, significa que el producto n -ésimo se encontró malo, y esto ocurre con probabilidad
Pr{X = n} = (1 - p)n-1 p
Observe que el factor (1 - p)n-1 es la probabilidad de que los primeros n - 1 productos estén buenos.
A manera de ejemplo más práctico imagínese que usted lanzará una moneda hasta que obtenga una cara (éxito). Que le salga cara a la primera, ocurrirá con una probabilidad de 1/2. Que le salga cara al segundo lanzamiento, significa que en el primer lanzamiento obtuvo un sello (que también ocurre con probabilidad 1/2, y se considera un fracaso), y en el segundo lanzamiento obtiene una cara, de manera que obtener por primera vez una cara en el segundo lanzamiento es que ha realizado antes un lanzamiento fallido, y así sucesivamente. De otra forma el suceso X = n, significa que hubo n - 1 lanzamientos fallidos y en el lanzamiento n se encontró "el éxito".
El crap
Demuestre que la probabilidad de ganar al "crap" es 244/495
Reglamento del crap: El jugador lanza dos dados. Si en el primer "envite" consigue un total de 7 o de 11 puntos ("un natural"), gana directamente; si su tanteo es de 2, 3 o 12 puntos ("craps") pierde directamente. En los demás casos (4, 5, 6, 8, 9, 10) la primera puntuación del lanzador es su "punto". Continúa lanzando, tratando de lograr el punto antes que salga un 7. Si lo consigue, gana todo el dinero; si fracasa, lo pierde todo.
{1, 2, 3, ... }
En efecto, la opción X = 1, significa que el primer producto revisado fue malo (no se alcanzó a encontrar uno bueno), y esto ocurre con probabilidad p. Si X = 2, significa que el primer producto revisado fue bueno y el segundo fue malo, y esto ocurre con probabilidad (1 - p)p. En general, la probabilidad del suceso X = n, significa que el producto n -ésimo se encontró malo, y esto ocurre con probabilidad
Pr{X = n} = (1 - p)n-1 p
Observe que el factor (1 - p)n-1 es la probabilidad de que los primeros n - 1 productos estén buenos.
A manera de ejemplo más práctico imagínese que usted lanzará una moneda hasta que obtenga una cara (éxito). Que le salga cara a la primera, ocurrirá con una probabilidad de 1/2. Que le salga cara al segundo lanzamiento, significa que en el primer lanzamiento obtuvo un sello (que también ocurre con probabilidad 1/2, y se considera un fracaso), y en el segundo lanzamiento obtiene una cara, de manera que obtener por primera vez una cara en el segundo lanzamiento es que ha realizado antes un lanzamiento fallido, y así sucesivamente. De otra forma el suceso X = n, significa que hubo n - 1 lanzamientos fallidos y en el lanzamiento n se encontró "el éxito".
El crap
Demuestre que la probabilidad de ganar al "crap" es 244/495
Reglamento del crap: El jugador lanza dos dados. Si en el primer "envite" consigue un total de 7 o de 11 puntos ("un natural"), gana directamente; si su tanteo es de 2, 3 o 12 puntos ("craps") pierde directamente. En los demás casos (4, 5, 6, 8, 9, 10) la primera puntuación del lanzador es su "punto". Continúa lanzando, tratando de lograr el punto antes que salga un 7. Si lo consigue, gana todo el dinero; si fracasa, lo pierde todo.
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