jueves, 19 de noviembre de 2009


Ecuación 1
Como consecuencia de la Ecuación 1, la función de distribución acumulativa de
probabilidades, la función de densidad de probabilidades y la función de
probabilidad vienen dadas por las ecuaciones 2, 3 y 4, respectivamente.





En estadística, la distribución geométrica está relacionada con la distribución binomial y la distribución de Pascal. Esta distribución también está basada en ensayos de Bernoulli y se utiliza para medir el número de ensayos necesarios hasta obtener el primer éxito.


En la gráfica de la derecha se observa una distribución geométrica con probabilidad de éxito en cada ensayo p = 0.25.

DISTRIBUCIÓN GEOMETRICA


Esta distribución indica exactamente el número de repeticiones del experimento hasta lograr la característica de interés.
Se genera la simulación de variables aleatorias tipo Geométrica a partir del método de la transformada inversa.

viernes, 13 de noviembre de 2009


En una serie de intentos independientes, con una probabilidad constante p de éxito, sea la variable X el número de ensayos realizados hasta la obtención del primer éxito. Se dice que X tiene una distribución geométrica con parámetro p cuando
X cantidad de intentos
                                                  

· DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
En el marco de repeticiones independientes de Pruebas de Bernoulli con parámetro
P se define otro tipo de experimento como el número de pruebas necesarias hasta
conseguir que ocurra el evento A por primera vez. Este experimento se denomina
experimento Geométrico y define una variable aleatoria
Geométrica.
El modelo Geométrico es una variable aleatoria que se define
como el número de repeticiones independientes de una Prueba de Bernoulli hasta
que ocurre el evento A.
Notas: − La variable aleatoria tomará cualquier valor entero mayor o
igual a uno.
− El modelo Geométrico se denotará como G(p), donde p es la
probabilidad de que ocurra el evento A en cada Prueba de
Bernoulli.
− La asignación de probabilidades de cada valor de la variable esta dada por la ecuación 1
Ecuación 1
Como consecuencia de la Ecuación 1, la función de distribución acumulativa de
probabilidades, la función de densidad de probabilidades y la función de
probabilidad vienen dadas por las ecuaciones 2, 3 y 4, respectivamente.
1
La Tabla 1 muestra los valores esperados más importantes correspondientes al
modelo Geométrico.
Tabla 1: Valores Esperados más Importantes para el Modelo Geométrico.
Para darse una idea se plantean los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1:La probabilidad de que ocurra el evento A en una Prueba de
Bernoulli es 0.6. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten exactamente 5 pruebas
para conseguir el resultado A por primera vez?.
La variable aleatoria así definida se corresponde con el modelo Geométrico con
parámetro p = 0.6. La probabilidad que se solicita viene dada por
Ejemplo 2:Considere una caja con R pelotas rojas y A pelotas amarillas. Se va a
realizar un muestreo con reposición hasta obtener una pelota amarilla. ¿Cuál es la
2probabilidad de que realicen exactamente 3 extracciones para conseguir la
primera pelota amarilla?.
La variable aleatoria así definida se corresponde con el modelo Geométrico con
parámetro p =A/A+R
. La probabilidad que se solicita viene dada por
Ejemplo 3:Un estudiante tiene probabilidad de 0.8 de aprobar el curso de
probabilidades. De no aprobar el curso en este término lo inscribe de nuevo hasta
que lo apruebe. ¿Cuál es la probabilidad de que necesite inscribirse más de tres
veces para aprobar el curso?.
La variable aleatoria definida como el número de veces que se toma el curso de
probabilidades hasta aprobarlo se corresponde con el modelo Geométrico con
parámetro p = 0.8 (se supone aquí que el valor de p permanece constante de un
término a otro). La probabilidad que se solicita viene dada por
Nota:
La Texas Instrument (TI−89), con su aplicación flash del programa de Probabilidad y Estadística, en el caso
de la distribución Geomertrica, se da por la opcion F5, seccion F.

FORMULAS Y EJEMPLOS DE DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICO

Si la probabilidad de éxito en cada ensayo es p, entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para obtener un éxito es:
P(X=x)=(1-p)^(x-1)
Para x = 1, 2, 3,...∞. Equivalentemente, la probabilidad de que haya x fallos antes del primer éxito es
P(X=x)=(1-p)^x
Para x= 0, 1, 2, 3,...∞
En ambos casos, la secuencia de probabilidades es una secuencia geométrica.
Si K=1 entonces la Binominal negativa se convierte en distribución geométrica.
DEFINICIÒN
En una serie de ensayos independientes pueden resultar en un éxito con una probabilidad p constante y en un fracaso con una probabilidad de q=1-p, entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria x, denota el número de ensayos en el cual ocurre el primer éxito es:
g(x;p)=pqx-1
Para x=1, 2,3,…∞
g(x;p)= pqx
Para x=0, 1,2,…∞
Si x es una variable aleatoria geométrica con parámetro p, entonces la esperanza y varianza de x son:
E(X) = µ = (1-p)/p= q/p
Var(X) =σ2 = (1-p)/p^2 =q/p^2
EJEMPLO: En un cierto proceso de manufactura se sabe que, en promedio, 1 de cada 100 piezas está defectuosa ¿Cuál es la probabilidad de que la quinta pieza inspeccionada sea la primera defectuosa?
Solución: Utilizando la distribución geométrica con x=5 y p=0.01, se tiene:
g(x;p)=pq^(x-1)
g(5;0.01)=(0.01)(0.99)^4
=0.0096

EJEMPLOS ADICIONALES
EJEMPLO 3: El tablero de un conmutador telefónico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo de ocupado se refiere, de tal forma que las personas no pueden encontrar una línea desocupada para sus llamadas. Puede se de interés saber el número de intentos necesarios que se requieren para tener una línea disponible, Suponga que sea p=0.05 la probabilidad de tener línea durante la mayor congestión de llamadas. Se tiene el interés particular de saber la probabilidad de que sean necesarios 5 intentos para lograr una comunicación.
Solución: Utilizando la distribución geométrica con x=5 y p=0.05 se tiene:
P(X=x)=g(x;p)=pq^(x-1)
P(X=x)=g(5;0.05)=(0.05)(0.95)^4=0.041
EJEMPLO 4: Un avión de alto rendimiento contiene tres computadoras idénticas. Se utiliza únicamente una para operar el avión; las dos restantes son repuestos que pueden activarse en caso de que el sistema primario falle. Durante una hora de operación, la probabilidad de una falla en la computadora primaria (o de cualquiera de los sistemas de repuesto activados) es 0.0005. Suponiendo que cada hora representa un ensayo independiente, ¿Cuál es el tiempo promedio para qué fallen las tres computadoras?
Solución: Sea que x denote el número de horas hasta que los tres sistemas fallen, y sea que x1, x2 y x3 denoten el número de horas de operación antes de una falla de la primera, la segunda y la tercera computadoras usadas, respectivamente. Entonces, x1+x2+x3. Además, se supone que las horas comprenden ensayos independientes con probabilidad constante de falla p=0.0005. Por otra parte, una computadora de repuesto no es afectada por la cantidad de tiempo que transcurra antes de activarse. Por consiguiente, x tiene una distribución Binominal negativa con p=0.0005 y k=3. En consecuencia,
E(x)=3/0.0005=6000 horas
¿Cuál es la probabilidad de que las tres computadoras fallen en un vuelo de 5 horas? La probabilidad pedida es P (X≤5) y:
P (X≤5)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=
P(X=x)=g(x;p)=pq^(x-1)
=0.0005^3+ ((_2^3))0.0005^3 (0.9995)+((_2^4))0.0005^(3 ) (0.9995)^2
═1.25×〖10〗^(-10 )+3.75×〖10〗^(-10)+7.49×〖10〗^(-10)=1.249×〖10〗^(-10)
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución geométrica es cualquiera de las dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes:

* la distribución de probabilidad del número X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un éxito, contenido en el conjunto { 1, 2, 3,...} o
* la distribución de probabilidad del número Y = X − 1 de fallos antes del primer éxito, contenido en el conjunto { 0, 1, 2, 3,... }.

Cual de éstas es la que uno llama "la" distribución geométrica, es una cuestión de convención y conveniencia.
Propiedades [editar]

Si la probabilidad de éxito en cada ensayo es p, entonces la probabilidad de que n ensayos sean necesarios para obtener un éxito es

P(X = n) = (1 - p)^{n-1}p\,

para n = 1, 2, 3,.... Equivalentemente, la probabilidad de que haya n fallos antes del primer éxito es

P(Y=n) = (1 - p)^{n} p\,

para n = 0,1, 2, 3,....

En ambos casos, la secuencia de probabilidades es una progresión geométrica.

El valor esperado de una variable aleatoria X distribuida geométricamente es

\ E(X) = \frac{1}{p},

y dado que Y = X-1,

\ E(Y) = \frac{1-p}{p}.

En ambos casos, la varianza es

\mbox{var}(Y) = \mbox{var}(X) = \frac{1-p}{p^2}.

Las funciones generatrices de probabilidad de X y la de Y son, respectivamente,

G_X(s) = \frac{sp}{1-s(1-p)} \quad \textrm{y} \quad G_Y(s) = \frac{p}{1-s(1-p)}, \quad |s| < (1-p)^{-1}.

Como su análoga continua, la distribución exponencial, la distribución geométrica carede de memoria. Esto significa que si intentamos repetir el experimento hasta el primer éxito, entonces, dado que el primer éxito todavía no ha ocurrido, la distribución de probabilidad condicional del número de ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayan observado. El dado o la moneda que uno lanza no tiene "memoria" de estos fallos. La distribución geométrica es de hecho la única distribución discreta sin memoria.

De todas estas distribuciones de probabilidad contenidas en {1, 2, 3,... } con un valor esperado dado μ, la distribución geométrica X con parámetro p = 1/μ es la de mayor entropía.

La distribución geométrica del número y de fallos antes del primer éxito es infinitamente divisible, esto es, para cualquier entero positivo n, existen variables aleatorias independientes Y 1,..., Yn distribuidas idénticamente la suma de las cuales tiene la misma distribución que tiene Y. Estas no serán geométricamente distribuidas a menos que n = 1.

distribución geometrica

martes, 10 de noviembre de 2009

Aporte de distribucion geometrica con ejercicios

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA.
Esta distribución es un caso especial de la Binomial, ya que se desea que ocurra un éxito por primera y única vez en el último ensayo que se realiza del experimento, para obtener la fórmula de esta distribución, haremos uso de un ejemplo.
Ejemplo: Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que la probabilidad de que aparezca águila es de 2/3, mientras que la probabilidad de que aparezca sello es de 1/3, Determine la probabilidad de que en el último lanzamiento aparezca una águila.
Solución: Si nosotros trazamos un diagrama de árbol que nos represente los 8 lanzamientos de la moneda, observaremos que la única rama de ese árbol que nos interesa es aquella en donde aparecen 7 sellos seguidos y por último una águila; como se muestra a continuación:
S S S S S S S A
Sí denotamos;
x = el número de repeticiones del experimento necesarias para que ocurra un éxito por primera y única vez = 8 lanzamientos
p = probabilidad de que aparezca una águila = p( éxito) = 2/3
q = probabilidad de que aparezca un sello = p(fracaso) = 1/3
Entonces la probabilidad buscada sería;
P(aparezca una águila en el último lanzamiento)=p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(A) =
=q*q*q*q*q*q*q*p = qx-1p
Luego, la fórmula a utilizar cuando se desee calcular probabilidades con esta distribución sería;
p(X)=qx-1p
Donde:
p(x) = probabilidad de que ocurra un éxito en el ensayo x por primera y única vez
p = probabilidad de éxito
q = probabilidad de fracaso
Resolviendo el problema de ejemplo;
x = 8 lanzamientos necesarios para que aparezca por primera vez una águila
p = 2/3 probabilidad de que aparezca una águila
q = 1/3 probabilidad de que aparezca un sello
p(x=8) = (1/3)8–1(2/3)= 0.0003048
Ejemplos:
1. Sí la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestre una desviación excesiva es de 0.05, ¿cuál es la probabilidad de que; a) el sexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el primero en mostrar una desviación excesiva?, b) el séptimo de estos dispositivos de medición sometidos a prueba, sea el primero que no muestre una desviación excesiva?.
Solución:
a) x = 6 que el sexto dispositivo de medición probado sea el primero que muestre una variación excesiva
p = 0.05 =probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesiva
q = 0.95 =probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variación excesiva
p(x = 6) = (0.95)6–1(0.05)= 0.03869
b) x = 7 que el séptimo dispositivo de medición probado, sea el primero que no muestre una desviación excesiva
p = 0.95 = probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variación excesiva
q = 0.05 = probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesiva
p(x = 7) = (0.05)7–1(0.95)= 0.0000000148

lunes, 9 de noviembre de 2009

aporte de distribucion geometrica

Suponga usted que se revisará un determinado producto elaborado, que se le realizará un determinado control de calidad, y este control solo tiene dos opciones: bueno o malo, la probabilidad de que el producto este malo es p, y por lo tanto 1 - p será la probabilidad de encontrarlo bueno (en este caso, encontrar el primer producto malo es un "éxito"). Se considera que la revisión de los productos son independientes, es decir que un determinado producto esté bueno o malo no incide en los resultados de la revisión de los productos posteriores o anteriores. Se revisará tantos productos (uno a uno) hasta el momento que se encuentre una malo. De manera que si definimos la variable aleatoria X como "el número de productos revisados hasta encontrar uno malo", entonces esta variable aleatoria tomará valores en el conjunto
{1, 2, 3, ... }
En efecto, la opción X = 1, significa que el primer producto revisado fue malo (no se alcanzó a encontrar uno bueno), y esto ocurre con probabilidad p. Si X = 2, significa que el primer producto revisado fue bueno y el segundo fue malo, y esto ocurre con probabilidad (1 - p)p. En general, la probabilidad del suceso X = n, significa que el producto n -ésimo se encontró malo, y esto ocurre con probabilidad
Pr{X = n} = (1 - p)n-1 p
Observe que el factor (1 - p)n-1 es la probabilidad de que los primeros n - 1 productos estén buenos.

A manera de ejemplo más práctico imagínese que usted lanzará una moneda hasta que obtenga una cara (éxito). Que le salga cara a la primera, ocurrirá con una probabilidad de 1/2. Que le salga cara al segundo lanzamiento, significa que en el primer lanzamiento obtuvo un sello (que también ocurre con probabilidad 1/2, y se considera un fracaso), y en el segundo lanzamiento obtiene una cara, de manera que obtener por primera vez una cara en el segundo lanzamiento es que ha realizado antes un lanzamiento fallido, y así sucesivamente. De otra forma el suceso X = n, significa que hubo n - 1 lanzamientos fallidos y en el lanzamiento n se encontró "el éxito".

El crap
Demuestre que la probabilidad de ganar al "crap" es 244/495
Reglamento del crap: El jugador lanza dos dados. Si en el primer "envite" consigue un total de 7 o de 11 puntos ("un natural"), gana directamente; si su tanteo es de 2, 3 o 12 puntos ("craps") pierde directamente. En los demás casos (4, 5, 6, 8, 9, 10) la primera puntuación del lanzador es su "punto". Continúa lanzando, tratando de lograr el punto antes que salga un 7. Si lo consigue, gana todo el dinero; si fracasa, lo pierde todo.